Die zentrale Differenzenmethode

3.1 Die zentrale Differenzenmethode

Von der Vielzahl der möglichen Differenzenverfahren wird bei der Zeitintegration oft das zentrale Differenzenverfahren verwendet. Dieses Verfahren ist ein Sonderfall des später besprochenem Newmark-Verfahrens.

Das Gleichgewicht wird zum Zeitpunkt t aufgestellt, mit den Werten von dem Intervall t - Delta t

, am Punkt t und nach dem Intervall t + Delta t

. Da für die Berechnung gleichzeitig die bekannten Werte mehrerer Schritte erforderlich sind, gehört das zentrale Differenzenverfahren zu den Mehrschrittverfahren. Die zu berechnenden Verschiebungen des neuen Zeitpunktes sind in der Bestimmungsgleichung nur auf der linken Seite der Gleichung (3.5) enthalten, während die rechte Seite nur bekannte Größen der zurückliegenden Iteration enthält. Deshalb wird die Methode auch "explizites" Verfahren genannt.

(Bild 3.1)

Mit der Annahme eines linearen Verschiebungsverlaufes zwischen den Zeitschritten ergeben sich gemäß (Bild 3.1) folgende Geschwindigkeiten zu den Zeitpunkten

(3.1)

(3.2)

Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ergibt sich aus dem arithmetischen Mittel

(3.3)

Die 2. Ableitung ergibt sich durch Differenzenbildung aus der 1. Ableitung

(3.4)

Damit sind die Beschleunigungen und die Geschwindigkeiten zur Zeit t durch die Verschiebungen der Zeitpunkte

beschrieben.

Das Einsetzen der Gleichungen (3.3) und (3.4) in Gleichung (2.33) bzw. (2.34) und Umstellen nach der Unbekannten Verschiebung ergibt

(3.5)

3.1.1 Vorteile des Verfahrens

- Wenn man erreichen kann, dass die Massen -und Dämpfungsmatrix zugleich Diagonalmatrizen sind, so sind die Gleichungen entkoppelt und die Gleichungsauflösung ist extrem vereinfacht.

3.1.2 Nachteile des Verfahrens

- Es ist eine gesonderte Vorgehensweise für das erste Berechnungsintervall erforderlich, um die Startbedingungen herzustellen.

- Die Einschränkung zur Sicherung der Stabilität des Verfahrens auf genügend kleine Zeitschritte

. Als Zeitschrittgrenze

kann angegeben werden

(3.6)

wobei Tn die kleinste Eigenschwingungsdauer der Struktur, d.h. die Schwin-gungsdauer der höchsten Eigenfrequenz ist. Jedoch ist zu beachten, dass bei manchen Systemen sehr hohe Eigenfrequenzen vorkommen können. Würde man diese Eigenfrequenz beachten, so bekäme man eine sehr kurze Eigenschwingzeit, die zu diskretisieren wäre. Die Folge wäre ein zu kleiner Zeitschritt Zeitschritte

, so dass der Aufwand für die Berechnung zu groß wäre. In diesem Fall richtet man sich erfahrungsgemäß nach einer kleineren Eigenfrequenz, die in dem System vorkommt.