Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

4.2 Untersuchung der Konvergenz und Genauigkeit

4.2.1 und Parameter

Wie schon in Kapitel 4.1 erwähnt, wird die Konvergenz beim Newmarkverfahren durch die zwei Parameter und gesteuert. Wählt man die beiden Parameter >= 0.5 und >= 0.25(0.5 + )², so ist das Newmarkverfahren unbedingt stabil. Eine Integrationsmethode ist unbedingt stabil, falls die Lösung bei beliebigen Anfangsbedingungen für einen beliebigen Zeitschritt und insbesondere, wenn /T groß ist, nicht über alle Grenzen wächst. Dagegen ist eine Methode bedingt stabil, wenn diese Aussage nur für den Fall zutrifft, dass /T kleiner oder gleich einen bestimmten Wert ist. Dieser Wert wird gewöhnlich als Stabilitätsgrenze bezeichnet.

Ursprünglich hat Newmark als unbedingt stabiles Schema die Methode der konstanten mittleren Beschleunigung, die auch Trapezregel genannt wird, vorgeschlagen. Für sie wählt man die Parameter = 1/2 und = 1/4. Die konstante mittlere Beschleunigung hat den Vorteil, dass während des Inkrements keine Amplitudenzu- bzw. abnahme entsteht. Wählt man dagegen > 0.5 und = 0.25(0.5 + )² so tritt während der Rechnung eine künstliche Dämpfung auf und es kommt zu einer Amplitudenabnahme. Bei < 0.5 und = 0.25(0.5 + )² ist das Verfahren nicht mehr stabil. In jedem Inkrementschritt kommt es zu einer immer höheren Amplitudenzunahme und das Verfahren kann ggf. divergieren.

Beispiel

Wir betrachten einen ungedämpften Einmasseschwinger der Masse m=1.0 kg und der Steifigkeit s=2.25 N/m und mit den Anfangsbedingungen .dabei ist die Eigenkreisfrequenz (siehe 2.43). Die dazugehörigen Bewegungsgleichung lautet ü + 2.25 u = 0.

Im Bild (4.2) sieht man die graphische Darstellung der exakten (schwarz) und der numerischen (rot) Lösung nach Newmark mit = 1/2 und = 1/4.


Wie erwähnt kommt es bei dieser Wahl der Parameter zu keiner Amplitudenzu- oder abnahme. Wir erhalten eine sehr gute Nährung

Führen wir die gleiche Berechnung durch und ändern lediglich die Parameter = 0.7 und = 0.36, so sehen wir in ( Bild 4.3 ) einen Amplitudenabfall in der numerischen Lösung, obwohl unser Einmassenschwinger ungedämpft ist.


Der Grund dafür ist, dass bei dem konstanten Durchschnittsbeschleunigungsverfahren sich die Verschiebung u.a. aus der Beschleunigung zur Zeit t und zur Zeit t + (siehe 3.8 und Bild 3.2). Genauer gesagt, berechnen wir den Durchschnitt der beiden Beschleunigungen. Daher kommt auch der Name "Durchschnittsbeschleunigungsverfahren". Ändern wir jedoch unsere Parameter wie in (Bild 4.3) also auf = 0.7 und = 0.36, so gewichten wir die Beschleunigung zur Zeit t + höher als die Beschleunigung zur Zeit t. Unsere Gleichung nach (3.8) lautet also


Den umkehrten Effekt erzielen wir bei der Wahl der Parameter < 0.5 und = 0.25(0.5 + )² mit z.B. = 0.3 und = 0.16. Führen erneut eine Berechnung durch, so sehen wir im ( Bild 4.4 ), dass sich die Amplitude aufschaukelt und mit jedem Inkrement größer wird.

Fazit:

In den meisten Literaturangaben wird empfohlen, mit den Parametern = 1/2 und = 1/4 zu rechnen. Wie im vorigen Beispiel zu sehen ist, werden nur bei dem Durchschnittsbeschleunigungsverfahren die Amplituden richtig berechnet, so das keine künstliche Dämpfung, bzw. kein Aufschaukeln der Amplitude auftritt.


Weiter mit:
Zeitschritt Delta t