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Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

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2.6.2 Schwingungen infolge harmonischer Erregung

2.6.2.1 Ungedämpfte Schwingungen

Wir betrachten das Verhalten des ungedämpften Systems mit einem Freiheitsgrad. Die dazugehörige Bewegungsgleichung lautet:




2.53
(2.53)

Die Bewegungsgleichung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, nämlich aus der allgemeinen Lösung der homogenen Bewegungsgleichung und aus einer partikulären Lösung der inhomogenen Bewegungsgleichung. Die vollständige Lösung erhält man durch Überlagerung der beiden Teillösungen

2.54
(2.54)

Die allgemeine Lösung der homogenen Bewegungsgleichung kennen wir schon von der Behandlung der freien Schwingung in Abschnitt 2.3.1.1, Gleichung (2.37).

2.55
(2.55)

Um einen Ansatz für die partikuläre Lösung uP, die der rechten Seite genügen muss, zu finden, geht man von der Vermutung aus, dass das System mit der Erregungsfrequenz Erregungsfrequenz schwingt:




2.56
(2.56)
2.57
(2.57)
2.58
(2.58)

Setzt man diesen Gleichtaktansatz in die inhomogene Bewegungsgleichung (2.53) ein, so erhält man als partikuläre Lösung

2.59
(2.59)

Die vollständige Lösung ergibt sich, wenn man Gleichung (2.59) und (2.55) in die Gleichung (2.54) einführt

2.60
(2.60)

Der erste Term von Gleichung (2.60) stellt die freie Schwingung dar, der zweite Term ist die stationäre Schwingungsantwort auf die harmonische Erregung.

Die statische Auslenkung des Systems unter einer konstanten Kraft F ist:

2.61
(2.61)

Das Verhältnis zwischen der Erregungskreisfrequenz und der Eigenkreisfrequenz des Systems lautet:
2.62
(2.62)
Die sogenannte Vergrößerungsfunktion V des ungedämpften Systems ist:

2.45
(2.63)
Bild 2.9
(Bild 2.9)

Die homogene Lösung muss aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Für den Fall, ergibt sich mit

2.64
(2.64)
2.65
(2.65)

die Lösung
2.66
(2.66)

Der freie und der erzwungene Anteil besitzen gleich große Amplituden, oszillieren aber mit verschiedener Frequenz. Liegt die Erregungsfrequenz in der Nähe der Eigenfrequenz, dann entsteht die im Bild (2.10) dargestellten Schwebungen.

Bild 2.10
(Bild 2.10)




Das Schwebungsverhalten lässt sich auch gleichungsmäßig zeigen. Führt man die folgenden Bezeichnungen für den Mittelwert und die Differenz der beiden Frequenzen ein
2.67
(2.67)
2.68
(2.68)

dann lässt sich Gleichung (2.66) auch in der Form
2.69
(2.69)

darstellen.

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Gedämpfte Schwingungen