Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

2.6.3 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

Die Bewegungsgleichungen linearer Systeme lassen sich durch eine Fourier-Transformation aller Verschiebungs- und Kraftgrößen lösen. Die Belastungen und die dadurch angeregten Schwingungen können sowohl periodisch wie auch nicht periodisch sein.

Allgemein kann eine periodische Funktion durch eine sogenannte Fourier-Reihe dargestellt werden. Bezeichnet man mit f(t) die Funktion und mit T0 die Periode, mit der sich der Funktionsverlauf wiederholt, so lautet die Fourier-Reihe


und


Die Fourier-Reihe ist eine unendliche Reihe mit Sinus- und Kosinustermen und stellt die Funktion f(t) exakt dar. Beispielweise kann eine beliebige, aber periodische Last-Zeitfunktion mit Gleichung (2.88) beschrieben werden. Die für die Konvergenz der Reihe erforderliche Dirichlet-Bedingung (stückweise Stetigkeit und stückweise Monotonie von f(t)) ist bei Zeitfunktionen von Schwingungsvorgängen praktisch immer erfüllt.


Bei Schwingungsvorgängen beschreibt f(t) den Zeitverlauf einer statischen Größe, beispielweise einer Verschiebung oder einer Schnittgröße. Der Zeitverlauf f(t) setzt sich also nach Gleichung (2.88) aus der Überlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen zusammen. Jedes Fourierglied steht für eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz . Die Fourier-Reihe kann auch in komplexer Schreibweise dargestellt werden. Es gilt:


Die Summation erfolg hier von bis . Mit der Eulerschen Formel


lässt sich nachweisen, dass (2.88) und (2.89) identisch sind. Da in (2.88) die Summation bei 1 beginnt, muss man in (2.89) nach dem Einsetzten von die Terme für k und -k zusammenfassen und dabei berücksichtigen, dass mit , beziehungsweise folgt.

Für nichtperiodische Funktionen erhält man durch den Grenzüberhang aus (2.88) oder (2.89) die sogenannte Fourier-Transformation. Die Summe in (2.88) beziehungsweise (2.89) geht dann in ein Integral über, und anstelle diskreter Werte erhält man eine Funktion . Diese Form der Fourier-Transformation ist für analytische Lösungen von Bedeutung und soll hier nicht weiter verfolgt werden. Für numerische Berechnungen lassen sich aber auch nichtperiodische Funktionen näherungsweise in Form einer Reihe darstellen. Allerdings muss die Periode T0 dann hinreichend groß gewählt werden. Bei der sogenannten Diskreten Fourier-Transformation oder DKT wird auch die Periode T0 in N Zeitschritte diskretisiert. Den Zeitschritt erhält man zu


und die Funktion f(t) steht an den Punkten mit j=0, 1, ..., (N-1) zur Verfügung. Wegen Die Koeffizienten ak und bk lassen sich damit entsprechend (2.88) numerisch ermitteln zu:


In komplexer Schreibweise erhält man mit (2.89) und der Eulerschen Formel die komplexen Fourierkoeffizienten zu:


Für das Wertepaar k=m und k=N-m gilt mit :


Mit der Eulerischen Formel kann man zeigen, dass sich die Koeffizienten ck für k > N/2 in dem Sinne wiederholen, dass die Realteile gleich sind, während die Imaginärteile gleichen Betrag aber umgekehrtes Vorzeichen besitzen, das heißt konjugiert komplexe Werte sind. Die Funktion f(t) erhält man an den Diskretisierungspunkten mit (2.89) zu


Die Summation über k erfolgt hier von 0 bis (N-1), was aufgrund der o.g. Eigenschaft der Fourierkoeffizienten der Summation von -N/2 bis N/2 entspricht. Mit (2.93) werden die Fourierkoeffizienten einer Funktion f(t) in Abhängigkeit von der Frequenz bestimmt. Man bezeichnet dies auch als Transformation von f(t) in den Frequenzbereich. Bei der sogenannten Rücktransformation oder Inversen Fourier-Transformation mit (2.95) wird die Funktion vom Frequenzbereich in den Zeitbereich transformiert. Sowohl der Frequenzbereich wie auch der Zeitbereich sind bei der DFT diskretisiert, die Frequenzbereich in die Kreisfrequenzen oder die Frequenzen mit k=0, 1,... , (N-1) und der Zeitbereich in die Punkte mit j=0, 1, ..., (N-1).

Die Auflösung im Frequenzbereich ist durch die Diskretisierung beschränkt. Da sich die Fourierkoeffizienten für k > N/2 in dem o. g. Sinne wiederholen, ist maximal die Frequenz bei k=N/2 darstellbar. Bei einer Diskretisierung im Zeitbereich mit den konstanten Zeitschritt beträgt sie



Diese Frequenz wird als Nyquist-Frequenz bezeichnet. Die Nyquist-Frequenz ist die höchste Frequenz, welche im Frequenzbereich dargestellt werden kann. Daher können beispielweise in Last-Zeit-Funktionen Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz nicht berücksichtigt werden. Gegebenfalls ist die Anzahl N der Punkte zu erhöhen beziehungsweise die Schrittweite im Zeitbereich zu verringen. Sollen Frequenzen bis zu fmax in einer Berechnung berücksichtigt werden, ergibt sich der maximal zulässige Zeitschritt mit (2.96) zu 1/(2 * fmax).

Zur Lösung der Bewegungsgleichung werden alle zeitabhängigen Größen von Zeit- in den Frequenzbereich transformiert. Für ein Finite-Elemente-Modell erhält man die Transformation der Verschiebungen mit (2.89) zu


und die Transformation der Last zu


Die Geschwindigkeit und Beschleunigung erhält man durch Differenzieren von (2.97) zu . Setzt man diese Gleichungen in die Bewegungsgleichungen (2.33) bzw. (2.34) ein, erhält man für jede Frequenz


Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten. Die Gleichung entspricht der Bewegungsgleichung bei harmonischer Anregung. Die Dämpfungsterme können als komplexe Steifigkeitsmatrix S ausgedrückt werden. Die komplexen Verschiebungen sind die Unbekannten des Gleichungssystems. Nach Lösung von (2.99) erhält man die Verschiebungsgrößen und mit Hilfe der komplexen Spannungsmatrizen auch alle Schnittgrößen im Frequenzbereich. Ihre Rücktransformation in den Zeitbereich erfolgt mit (2.89) beziehungsweise bei der DFT mit (2.95)

Das Verfahren kann wie folgt zusammengefasst werden:

Start

Wahl der Periode T0 und der Anzahl N der Diskretisierungspunkte unter Berücksichtigung des Zeitschrittes

Berechnung im Frequenzbereich

1. Transformation der Belastung in den Frequenzbereich


2. Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung im Frequenzbereich


3. Berechnung der Schnittgrößen im Frequenzbereich mit Hilfe der Spannungsmatrizen

Rücktransformation in der Zeitbereich

1. Rücktransformation der Verschiebungs-Zeitverläufe


2. Rücktransformation der Schnittgrößen-Zeitverläufen