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Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

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Das Newmark-Verfahren

Herleitung des Verfahrens Konvergenz und Genauigkeit Beispiel

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4 Das Newmark-Verfahren

4.1 Herleitung des Verfahrens

Unser Ziel ist es, die Beschleunigung, Geschwindigkeit und Verschiebung zur Zeit t + Delta t zu ermitteln.

Dafür wird die Beschleunigung zur Zeit t + aus (Bild 4.1) hergeleitet. Dabei wird zuerst die bekannte Beschleunigung zum Zeitpunkt t mit der Beschleunigung vom Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt t + addiert.



4.1
(4.1)
Bild 4.1
(Bild 4.1)

Um die Geschwindigkeit und Verschiebung zu ermitteln, muss man die Gleichung (4.1) zweimal integrieren. Dadurch erhalten wir

4.2
(4.2)
4.3
(4.3)

Um jedoch u, zum Zeitpunkt t + zu erhalten, lassen wir laufen und erhalten somit

4.4
(4.4)
4.5
(4.5)

Jetzt entspricht es dem linearen Beschleunigungsverfahren. Um die Genauigkeit und Stabilität des Verfahrens steuern zu können, hat man die Konstanten aus Gleichung (4.4) und (4.5) in Variablen umgewandelt.




4.6
(4.6)
4.7
(4.7)

Um die Schreibweise dieser Gleichungen zu vereinfachen, führen wir neue Bezeichnungen ein, zuerst schauen wir uns die Gleichung (4.7) an

4.8
(4.8)

Die Gleichung für die Beschleunigung müssen wir aus der Gleichung für die Verschiebung (4.6) ermitteln

4.9
(4.9)

Jetzt setzen wir Gleichung (4.8) und (4.9) in die uns bereits bekannte Bewegungsgleichung

4.10
(4.10)

ein und erhalten

4.11
(4.11)

Ziel ist es die Verschiebungen zum Zeitpunkt t + Delta t berechnen zu können. Dazu müssen wir die Gleichung (4.11) so umformen, dass auf der linken Seite der Gleichung die Verschiebungen zum Zeitpunkt t + Delta t und auf der rechten Seite die Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t stehen. Da uns aus den Anfangsbedingungen der jeweiligen Aufgabenstellung die Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t bekannt sind, können wir so unsere Verschiebung zum Zeitpunkt t + Delta t berechnen und somit auch die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t + Delta t

Wir setzten in unsere Ausgangsgleichung (4.11) die Gleichung (4.9) ein und erhalten

4.12
(4.12)




Jetzt bringen wir alle Verschiebungen zum Zeitpunkt Delta t auf die linke Seite und erhalten

4.13
(4.13)

Nun vereinfachen wir die Gleichung

4.14
(4.14)

und führen neue Konstanten ein


So erhalten wir als Verschiebung zur Zeit t + Delta t

4.15
(4.15)

Dabei bezeichnet man den Term

4.16
(4.16)

aus Gleichung (4.15) als effektive Steifigkeitsmatrix. Diese muss in Dreiecksfaktoren zerlegt werden, falls es sich nicht um Diagonalmatrizen handelt. Dann bringt man diese auf die rechte Seite der Gleichung und erhält schließlich die gesuchte Verschiebung zur Zeit t + Delta t.

Fazit:

Möchte man nun die Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen eines Systems mit n Freiheitsgeraden ermitteln, so berechnet man zuerst die Konstanten a0 bis a7 und legt die Parameter fest. Nun bilde man die effektive Steifigkeitsmatrix (4.16) und zerlegt diese in Dreiecksfaktoren. Jetzt kann man die Verschiebungen zum Zeitpunkt t + Delta t berechnen (Gleichung (4.15)). Da wir nun die Verschiebungen kennen, können wir die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t + Delta t berechnen. Man setzt die neu errechneten Verschiebungen wieder in die Gleichung (4.15) und erhält die Werte für den nächsten Zeitschritt. Man wiederholt die Prozedur so lange, bis man alle Zeitschritte berechnet hat.


Untersuchung der Konvergenz und Genauigkeit