Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

3.2 Die Newmark Methode

Das Newmark-Verfahren ist ein implizites Integrationsverfahren und gehört zu den Einschrittverfahren, da zur Berechnung der Bewegungsgrößen zur Zeit tn+1 nur die Bewegungsgrößen des vorangegangenen Zeitschritts benötigt werden. Dabei werden zwei Parameter eingeführt, mit denen die Stabilität und die Genauigkeit des Verfahrens gesteuert werden.



Das Newmark-Verfahren ist eine Variation des linearen Beschleunigungsverfahrens (siehe unten). In (Bild 3.2) ist der lineare Beschleunigungsverlauf zwischen den Zeitpunkten t und t + dargestellt. Für die Geschwindigkeit und die Verschiebung zum Zeitpunkt t + werden folgende Annahmen getroffen


Für =1/2 und =1/6 entspricht das Newmark-Verfahren dem linearen Beschleunigungsverfahren. Für =1/2 und =1/4 wird das Verfahren zu einem konstanten Durchschnittsbeschleunigungsverfahren, das die ursprüngliche Form des Newmark-Verfahrens darstellt.

Werden die Gleichungen (3.7) und (3.8) so umgeformt, dass sich die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen als Funktion der bekannten Größen zum Zeitpunkt t und der unbekannten Verschiebung darstellen lassen, so kann mit der Gleichgewichtsbedingung zum Zeitpunkt t +
die gesuchte Verschiebung bestimmt werden. Nachdem das Ergebnis für die Verschiebung in die umgestellten Gleichungen (3.7) und (3.8) eingesetzt worden ist, ergibt sich die Beschleunigung und Geschwindigkeit zur Zeit t + .

3.1.1 Vorteile des Verfahrens

- Zur Berechnung sind nur die bekannten Größen zum Zeitpunkt t erforderlich. Es handelt sich daher um ein Einschrittverfahren.

- Das Newmark-Verfahren ist uneingeschränkt stabil für und - Zur Berechnung im ersten Zeitintervall ist kein besonderes Startverfahren erforderlich.

3.1.2 Nachteile des Verfahrens

- Zu den wesentlichen Nachteile des Newmark-Verfahrens gehört, dass auf der linken Gleichungsseite die Steifigkeitsmatrix S auftritt (siehe Schema: Schritt 2 Zeitschrittberechnung). Diese Tatsache führt zu erhöhtem Rechenaufwand bei der Gleichungsauflösung, insbesondere bei nichtlinearem Strukturverhalten.

3.1.3 Das Schema

A: Anfangsberechnung

1. Aufstellung der Koeffizientenmatrizen

2. Die Anfangsgrößen werden eingeführt.

3. Wahl des Zeitschritts sowie der Parameter und , Berechnung der Konstanten

4. Berechnung der effektiven Steifigkeitsmatrix S
5. 5. Dreieckszerlegung von Seff

B:Zeitschrittberechnung

1. Berechnung der effektiven Lasten Feff zur Zeit t +
2. Die Verschiebung zur Zeit t + ermitteln aus
3. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t berechnen