Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

3.3 Die Houbolt Methode

Das Houbolt-Verfahren ist ein Differentenverfahren, bei dem die Beschleunigungs- und Geschwindigkeitswerte zum Zeitpunkt t + aus den Werten der vorigen Zeitpunkte t - 2, t - , t ermittelt werden. Für die Verschiebung wird ein kubischer Verlauf von Zeitpunkt t - 2 bis t + angenommen. Das Houbolt-Verfahren ist wie das zentrale Differenzenverfahren auch ein Mehrschrittverfahren. Beschleunigung und Geschwindigkeit werden aus den rückwärtigen Differenzenquotienten berechnet.

Die Differenzengleichung lautet für die Beschleunigung



und die Geschwindigkeit



Das dynamische Gleichgewicht wird zum Zeitpunkt t + formuliert



Durch Einsetzen von Gleichung (3.10) und Gleichung (3.11) in die Gleichung (3.12) erhält man

3.3.1 Vorteile des Verfahrens

- Der wesentliche Vorteil des Houbolt-Verfahrens gegenüber dem zentralen Differenzenverfahren ist seine unbedingte Stabilität für die Zeitschrittgrößen, welches ein Kennzeichen für die meisten impliziten Verfahren ist. Die diskretisierte Bewegungsgleichung geht in die statische Beziehung für das Houbolt-Verfahren über, falls die Trägheits- und Dämpfungskräfte vernachlässigbar sind.

3.3.2 Nachteile des Verfahrens

- Ein spezielles Startverfahren ist erforderlich, da die Verschiebungen an drei Zeitpunkten bekannt sein müssen. Hierzu wäre zum Beispiel das zentrale Differenzenverfahren in modifizierter Form verwendbar.

- Die Steifigkeitsmatrix S tritt auf der linken Gleichungsseite von (3.13) auf. Dies ist ein Kennzeichen aller impliziten Verfahren, wo das Gleichgewicht zur Zeit t + aufgestellt wird. Es hat zur Folge, dass auch bei diagonalen Masse- und Dämpfungsmatrizen M und D bei jeder Gleichungsauflösung ( d.h. jedem Zeitschritt ) eine Triangularisierung durchgeführt werden muss, sofern der Zeitschritt sich ändert oder nichtlineares Werkstoffverhalten vorliegt.

3.3.3 Das Schema

A: Anfangsberechnung

1. Aufstellung der Koeffizientenmatrizen

2. Die Anfangsgrößen werden eingeführt.

3. Wahl des Zeitschritts sowie die Berechnung der Konstanten

4. Berechnung der Verschiebungen an zwei weiteren Zeitpunkten mit einem geeigneten Startverfahren
5. Dreieckszerlegung von Seff
6. Dreieckszerlegung von Seff

B:Zeitschrittberechnung

1. Berechnung der effektiven Lasten Feff zur Zeit t +
2. Die Verschiebung zur Zeit t + ermitteln aus
3. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t berechnen