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2.6.2.2 Gedämpfte Schwingung

Bei einem gedämpften System mit einer harmonischen Erregung lautet die Differentialgleichung

2.70
(2.70)

Die vollständige Lösung der Bewegungsgleichung erhält man auch hier wieder durch Überlagerung der vollständigen Lösung der homogenen Bewegungsgleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Bewegungsgleichung. Wir wollen uns zunächst mit der partikulären Lösung beschäftigen.




Bei der Wahl eines geeigneten Ansatzes muss beachtet werden, dass selbst wenn auf der rechten Seite von Gleichung (2.70) nur eine kosinusabhängige Erregung auftritt, ein rein kosinusabhängiger Ansatz für die partikuläre Lösung nicht ausreichend ist. Der Grund hierfür ist das Dämpfungsglied auf der rechten Seite, da dadurch auch sinusabhängige Anteile eingebracht werden. Ein geeigneter Ansatz lautet somit

2.71
(2.71)

Setzt man diesen Ansatz (2.71) in die Bewegungsdifferentialgleichung (2.70) ein und löst Sie nach den Unbekannten uc und us auf, so bekommt man als Lösung

2.72
(2.72)

Nun hat man eine partikuläre Lösung, bestehend aus Sinus und Kosinus. Diese Gleichung kann man vereinfachen.

Allgemein gilt:

2.73
(2.73)

Dies wende man auf die rechte Seite der DGL (2.72) an.

2.74
(2.74)




Mit Hilfe des Additionstheorems (2.73) und (2.74) für die Kosinusfunktion erhält man für die Maximalamplitude |p| und den Phasenwinkel ß

2.75
(2.75)

Jetzt setzt sich der Ansatz der partikulären Lösung aus einer Sinus- und einer Kosinusfunktion zusammen, die beide um den Winkel phasenverschoben sind. Die Lösung lautet

2.76
(2.76)

Es wäre praktisch, diese partikuläre Lösung ebenfalls als eine rein Kosinusabhängige, phasenverschobene Schwingung darzustellen, mit

2.77
(2.77)

So erhält man für

2.80
(2.80)
2.81
(2.81)
So lautet das Ergebnis schließlich

2.82
(2.82)

Wobei Nacheilwinkel der Nacheilwinkel genannt wird. Man nutze nun und D um die Gleichung (2.82) einfacher auszudrucken

2.83
(2.83)

Man betrachte nur den Vorfaktor des Kosinus, also die Amplitude aus Gleichung (2.82)

2.84
(2.84)

F/s kommt ebenfalls bei der Lösung ohne Dämpfung vor (Kap 2.6.2.1) Es handelt sich dabei um die statische Auslenkung. Der restliche Faktor ist demnach die Vergrößerungsfunktion V

2.85
(2.85)
Bild 2.11
(Bild 2.11)

=1 war der Fall, in dem Resonanz auftrat (ohne Dämpfung), und in dem die Funktion nicht definiert war. Das ist bei der neuen Vergrößerungsfunktion nicht der Fall, da diese keine solch kritische undefinierte "Lücke" besitzt. Ist die Dämpfung schwach, so liegt der Maximalwert der Funktion in der Nähe von =1, bei kleiner Dämpfung liegt dann die Nährung

2.86
(2.86)

Die allgemeine Lösung uh der homogenen Bewegungsgleichung kennen wir schon aus Abschnitt 2.6.1.2 Formel (2.48). Somit lautet die endgültige Lösung

2.87
(2.87)