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Algorithmen zur Dynamik im Zeitbereich

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Bewegungsgleichung im Frequenzbereich

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Bewegungsgleichung im Zeitbereich

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2.6 Behandlung im Frequenzbereich

Für die Untersuchung von Schwingungen gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten. Man kann zum einen den zeitlichen Verlauf der Systemantwort durch direkte, meist numerische Integration bestimmen. Dann spricht man von einer Behandlung im Zeitbereich. Das wird ab Kapitel 3 erfolgen. Die zweite Möglichkeit, mit der wir uns in diesem Abschnitt beschäftigen, ist die algebraisierte Behandlung im Frequenzbereich.




Anmerkung: Bei Konstanten, die rechts unten ein Index 0 haben, handelt es sich um vorgegebene Größen zur Zeit t=0. u0 ist demnach die Verschiebung zur Zeit t=0 und muss vorgegeben sein.

2.6.1 Freie Schwingungen

Zunächst wird die freie Schwingung betrachtet. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass die Belastungen auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung verschwinden. Die Bewegungsgleichung lautet für diesen Fall also:

2.35
(2.35)

2.6.1.1 Ungedämpfte Schwingungen

Im Fall der freien ungedämpften Schwingung reduziert sich die Bewegungsgleichung durch das Wegfallen der Dämpfungskraft um einen weiteren Term. Damit reduziert sich die Gleichung (2.35) auf:

2.36
(2.36)




Bei statischem Systemverhalten lautet die Gleichgewichtsbedingung, wenn die äußere Last Null ist, s * u = 0 und die Verschiebung u ist Null. Bei dynamischen Systemverhalten tritt aber die Massenkraft m * ü auf. Sie steht zu jedem Zeitpunkt mit der Federkraft s * u im Gleichgewicht. Es können auch zeitabhängige Verschiebungen u auftreten, ohne dass äußere Kräfte auf das System einwirken.

Bei (2.36) handelt es sich um eine homogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Ihre Lösung lautet:

2.37
(2.37)

Sie kann mit der Amplitude Amplitude und dem Phasenwinkel Phasenwinkel auch geschrieben werden:

2.38
(2.38)

Hieraus erhält man die Geschwindigkeit und Beschleunigung zu

2.39
(2.39)
2.40
(2.40)

Die Richtigkeit dieser Lösung kann man durch Einsetzen in (2.36) leicht prüfen. Man erhält:

2.41
(2.41)

und mit

2.42
(2.42)
Die Lösung dieser Gleichung lautet somit:

2.43
(2.43)

Freie Schwingungen nach (2.38) - (2.40) sind nur mit dieser Frequenz möglich. Sie wird auch als Eigenkreisfrequenz bezeichnet. Der Phasenwinkel Phasenwinkel lässt sich auch aus der Verschiebung oder der Geschwindigkeit bei t = 0 bestimmen.
Häufiger als die Eigenfrequenz werden zur Beschreibung der Schwingung die Frequenz f

2.44
(2.44)
und deren Kehrwert, die Schwingzeit T




2.45
(2.45)
verwendet.

Zusammenfassend lässt sich feststellen: Der Einmassenschwinger besitzt eine einzige Eigenfrequenz, nämlich die Frequenz
2.46
(2.46)

Freie ungedämpfte Schwingungen sind Schwingungen mit einem sinusartigen Zeitverlauf in dieser Frequenz. Die Amplitude und der Phasenwinkel der Schwingung ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.


Weiter mit:
Gedämpfte Schwingungen