4.3 Beispiel
Wir möchten in diesem Beispiel mit Hilfe des Newmark-Verfahrens eine Differentialgleichung lösen. Da aber das Newmarkverfahren, wie jedes Iterative Verfahren nur eine Näherung der Lösung angibt, werden wir die Differentialgleichung zuerst exakt lösen, um die Ergebnisse dann mit dem Newmark-Verfahren zu vergleichen und auszuwerten.Bei der Aufgabe handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung infolge einer harmonischen Erregung. Wie man solch eine Differentialgleichung zu behandeln hat, steht in Kapitel (2.6.2.2). Alle Werte werden bis auf 3 Nachkommastellen gekürzt.
Aufgabe:
Ein Kraftfahrzeug mit der Masse m = 975 kg fährt zum Zeitpunkt t = 0 s mit einer Geschwindigkeit von v = 50 über eine unebene Strasse. Die Strasse wird als eine Sinuskurve mit einer Amplitude von 5 cm und einer Wellenlänge von 10 m idealisiert. Das Kraftfahrzeug wird als ein System mit einem Freiheitsgrad bestimmt. Gesucht ist die Tauchfunktion u(t) des Fahrzeugs mit einer Dämpfung bei der das Lehrsche Dämpfungsmaß D = 0.1 ist.Geben sind:
Anfangsbedingungen:
Lösung:
Diese Aufgabe wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:
Mit der Fußpunkterregung:
und der äußeren Kraft F(t)=0, da keine Krafterregung stattfindet.
Wie man sieht hat diese Differentialgleichung die Form:
Weiter mit:
Analytische Lösung der Differentialgleichung
Numerische Lösung der Differentialgleichung